В случае тетраэдра разговор идет о нескольких элементах, а не об одном. Поэтому тетраэдр — это простейшее, минимальное объединение элементов в пространстве, то есть простейшая интегративная геометроэнергоформа (геодезическая комбинация — первый из строительных интегралов). Система векториальных отношений указывает на скрытую силовую энергоструктуру пространства, которая не наблюдается непосредственно, но определяет поведение находящихся в нем материальных элементов; имеет внутреннюю и внешнюю части, то есть имеет объем. Таким образом, Фуллер подчеркивает, что объем связан не с формальным трехмерным измерением, и не с формой контуров, а с фазовым состоянием — разграничением между внутренним и внешним пространствами (границей/оболочкой и глубиной/содержанием). Тетраэдр занимает наименьший объем в пределах данной площади поверхности любой симметричной структуры, что делает его формой с минимальной энергией. На первой итерации мы плотно упаковали четыре элементарные сферы и получили тетраэдр как простейшую интегративную геометроэнергоформу/структуру. Такой простейший тетраэдр Фуллер называл тетраэдром первой частоты и обозначал 1F (F от английского frequency). Перейдем к следующему шагу интеграции и посмотрим, что происходит при добавлении большего количества сфер. Удивительным образом ситуация начинает ветвиться и получаются два различных алгоритма формообразования, развивающихся от простейшего тетраэдра первой частоты! Во-первых, оказывается, что их сферы также можно соединить подобным образом (под углами 60°), чтобы создать больший тетраэдр второй частоты (2F). Это и есть наглядные примеры геодезических комбинаций Фуллера. Напомним, что у Фуллера понятие частоты заменяет понятие величины (размера). Его интересует только внутренняя архитектура, а не размер в единицах измерения длины. (Fuller, 1975, 413.00; Edmondson, 2007, с. 125)! Это иллюстрирует рис. 2.7B. Обратите внимание, как только мы научились представлению сфер через их внутренние векторы сил (рис. 2.7А), то, рассматривая добавление последующих элементов, перестали ставить друг на друга непосредственно объемные сферы (как шарики в рис. 2.7С), а перешли исключительно к их векторному представлению. Но это не единственный вариант интегрирования добавочных сфер. Тетраспираль Во-вторых, кроме «большего» тетраэдра второй частоты может начать формироваться другая структура, а именно цепочка тетраэдров первой частоты, которая скручивается в так называемую тетраспираль (Fuller, 1975, 930.00) (рис. 2.8). Поскольку каждый состоящий из сфер тетраэдр первой частоты является предельным минимумом, занимающим наименьшую долю пространства (Lord et al., 2006), то и тетраспиральная цепь, образующаяся при дальнейшем добавлении большего количества сферных элементов, расположенных подобным образом, образует цепь, которая тоже стремится к этому минимуму занимаемого пространственного объема (плотной упаковке).
Это свойство тетраэдров и образованных их объединением интегративных геометроэнергоформ мы в дальнейшем будем называть структурной эффективностью , стоящей за геодезическими комбинациями. Плотная упаковка тетраэдров намного ближе к нашему интуитивному восприятию «сплошности» в заполнении пространства, чем плотная упаковка сфер, но мы должны помнить, что это уже суперплотность упаковки, поскольку тетраэдры — это уже интегративные, а не базовые геометроэнергоформы в отличие от сфер. На этом интересные свойства тетраспиралей не заканчиваются. Помимо структурной эффективности, их следующей ключевой характеристикой является так называемая хиральность, а именно закрученность, спиральная ориентированность (рис. 2.9). В зависимости от того, к какой грани исходного тетраэдра первой частоты подсоединяются добавляющиеся сферы, — спираль может быть либо левозакрученной (Left, левосторонней) либо правозакрученной (Right, правосторонней). В таком случае их называют L-спираль и R-спираль. (Некоторые авторы описывают хиральность через часовую стрелку — закрученность по часовой стрелке и против часовой стрелки), а также понятие «ход»: левый ход и правый ход. Как всегда, мы считаем необходимым подкрепить введение новых математических конструкций, таких как тетраспираль, отсылками к природным примерам самоорганизации, которые их явно иллюстрируют. Благодаря своей структурной эффективности, а также наличию и внедрению лево— и правосторонних вариаций хиральности, тетраспираль — особенно подходящая модель для молекулярной упаковки. (Chouaieb et al., 2006) (рис. 2.9). А также, как мы увидим позже, образует геометрическую основу для значительного числа белковых структур (Sadoc & Rivier, 2000; Lord, 2002), трубчатых стенок кровеносных сосудов (Holzapfel, 2006) и мышц (Scarr, 2016a); даже кости при движении следуют по сложным лево— и правосторонним спиральным траекториям! Рис. 2.8. Цепочка тетраэдров, образующая тетраспираль с правосторонним скручиванием Рис. 2.9. Лево— и правосторонние тетраспирали, происходящие из тетраэдра.